西安交大出版社数学135系列答疑资料

龚冬保考研数学网上答疑 (Email：sx135_J07@126.com)

实对称矩阵合同的问题

问题：

1. 请问老师以下一节话对否？这是我一个朋友传给我的。

根据老师昨天的回答，两个实对称矩阵合同则必定合同于同一个对角阵。那么就应当有相同的特征值，那么两个矩阵就相似，也就是说实对称矩阵的合同与相似是等价的。所以，我同学传给我的上面这段话是不对的，老师认为呢？

再问：老师说“两个实对称矩阵合同则必定合同于同一个对角阵”，那么我们有一个定理“实对称矩阵必定相似合同于对角阵，也就是存在可逆矩阵P使得,(P转置)AP＝(P逆)AP=对角阵”那么，“如果两个矩阵A、B分别合同于同一对角阵，那么他们必定分别与该对角阵相似，所以由于相似的传递性必定有A、B相似，有相同特征值。”这个推理有没有什么问题？

如果有问题的话，我想应当是：‘A、B、对角阵1、对角阵2’，四者两两合同，但A相似于对角阵1，B相似于对角阵2，‘A与对角阵1’这一组与‘B与对角阵2’这一组没有任何相似的关系”，那么应当有“如果两个实对称矩阵合同但不相似，则必定存在两个对角阵使得： 1。两个实对称阵均合同于两个对角阵。2。两个实对称阵分别相似于该两个对角阵。3。两个对角阵合同但不相似”，所以，两个实对称阵，相似与合同并不等价，相似可以推出合同，合同推不出相似。您看对么？

2. 如果矩阵A合同于单位矩阵E那么，A一定是实对称阵。正确么？

再问：也就是说证明题，证明A是正定矩阵，只要有A合同于E就可以了，无需再证明A是否实对称对么？我看到很多证明题，好像一开始必须证明A实对称，才证明其他条件，我觉得这是多余的，故而提出上面问题。

答复一：

1.你同学传给你的上段话是对的，合同与相似是两个不同的概念。确实，两个实对称矩阵合同则必定合同于同一个对角阵，但由此推不出有相同的特征值来，A与B相似时有相同的特征值，但A与B合同时，却不一定有相同的特征值。另外，也不要把正、负惯性指数和特征值相混淆。

2.如果实矩阵A合同于单位矩阵E, 不仅可以断定A一定是实对称矩阵，而且进一步得到结论：A一定是正定矩阵。

CH

答复二：

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龚冬保 西安交大教授，毕业于北京大学数力系。全国优秀教师。多次参加全国数学考研命题及各类数学竞赛命题，长期担任考研辅导、数学竞赛教练工作，是著名的命题专家和辅导专家。

“数学135系列”简介（西安交通大学出版社出版 电话：029-82667874， 029-82668357）

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