西安交大出版社考研数学135系列图书

龚冬保教授网上答疑服务 (Email：sx135_J07@126.com)

一个线性代数题及一道矩阵的题

问题：

龚教授：

你好！又得麻烦您了，现有两题，有迷惑之处，特请教教授，题目如下：

（1）设α1，α2…，αs为线性方程AX=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2= t1α2+t2α 3，…βs= t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数，问当t1，t2满足什么关系时，β1，β2，…βs也是AX=0的一个基础解系？

在证明β1，β2，…βs线性无关时我是这样证的：  [β1，β2，…βs]=(t1+t2)[α1，α2…，αs]，故r([β1，β2，…βs])=r((t1+t2)[α1，α2…，αs])=s,说明β1，β2，…βs线性无关，无论在t1，t2满足什么关系时都是方程组的一个基础解系。

但答案不是这样的，我想知道我错在什么的地方了？

（2）设A是m×n矩阵，非齐次线性方程组AX=b有解的充分条件是：r（A）=m。答案是这么分析的：对AX=b，有r（A）≤r（B）≤m（B是增广矩阵），如果r（A）=m，则必有 r（A）=r（B）=m。我想问为什么不能是r（A）≤r（B）≤n而是r（A）≤r（B）≤m呢？

以上就是学生的困惑，麻烦教授解惑，谢谢！

答复：

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龚冬保 西安交大教授，毕业于北京大学数力系。全国优秀教师。多次参加全国数学考研命题及各类数学竞赛命题，长期担任考研辅导、数学竞赛教练工作，是著名的命题专家和辅导专家。

“数学135系列”简介（西安交通大学出版社出版 电话：029-82667874， 029-82668357）

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