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2015年数学一考试大纲

    八、常微分方程
    考试内容

    常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程伯努利(Bernoulli)方程全微分方程可用简单的变量代换求解的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程欧拉(Euler)方程微分方程的简单应用
    考试要求
    1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.
    2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法.
    3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程,会用简单的变量代换解某些微分方程.
    4.会用降阶法解下列形式的微分方程:和.
    5.理解线性微分方程解的性质及解的结构.
    6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.
    7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.
    8.会解欧拉方程.
    9.会用微分方程解决一些简单的应用问题.
    线性代数
    一、行列式

    考试内容
    行列式的概念和基本性质行列式按行(列)展开定理
    考试要求
    1.了解行列式的概念,掌握行列式的性质.
    2.会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式.
    二、矩阵
    考试内容
    矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算
    考试要求
    1.理解矩阵的概念,了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质.
    2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律,了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.
    3.理解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件,理解伴随矩阵的概念,会用伴随矩阵求逆矩阵.
    4.理解矩阵初等变换的概念,了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念,理解矩阵的秩的概念,掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法.
    5.了解分块矩阵及其运算.
    三、向量
    考试内容
    向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量空间及其相关概念维向量空间的基变换和坐标变换过渡矩阵向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法规范正交基正交矩阵及其性质
    考试要求
    1.理解维向量、向量的线性组合与线性表示的概念.
    2.理解向量组线性相关、线性无关的概念,掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法.
    3.理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念,会求向量组的极大线性无关组及秩.
    4.理解向量组等价的概念,理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系.
    5.了解维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念.
    6.了解基变换和坐标变换公式,会求过渡矩阵.
    7.了解内积的概念,掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法.
    8.了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质.
    四、线性方程组
    考试内容
    线性方程组的克拉默(Cramer)法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解解空间非齐次线性方程组的通解
    考试要求
    l.会用克拉默法则.
    2.理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件.
    3.理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念,掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法.
    4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念.
    5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法.
    五、矩阵的特征值和特征向量
    考试内容
    矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似变换、相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵
    考试要求
    1.理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质,会求矩阵的特征值和特征向量.
    2.理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件,掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法.
    3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.
    六、二次型
    考试内容
    二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性
    考试要求
    1.掌握二次型及其矩阵表示,了解二次型秩的概念,了解合同变换与合同矩阵的概念,了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理.
    2.掌握用正交变换化二次型为标准形的方法,会用配方法化二次型为标准形.
    3.理解正定二次型、正定矩阵的概念,并掌握其判别法.
    概率论与数理统计
    一、随机事件和概率

    考试内容
    随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验
    考试要求
    1.了解样本空间(基本事件空间)的概念,理解随机事件的概念,掌握事件的关系及运算.
    2.理解概率、条件概率的概念,掌握概率的基本性质,会计算古典型概率和几何型概率,掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯(Bayes)公式.
    3.理解事件独立性的概念,掌握用事件独立性进行概率计算;理解独立重复试验的概念,掌握计算有关事件概率的方法.
    二、随机变量及其分布
    考试内容
    随机变量随机变量分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布
    考试要求
    1.理解随机变量的概念,理解分布函数的概念及性质,会计算与随机变量相联系的事件的概率.
    2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念,掌握0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布及其应用.
    3.了解泊松定理的结论和应用条件,会用泊松分布近似表示二项分布.
    4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念,掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用,其中参数为的指数分布的概率密度为
    5.会求随机变量函数的分布.
    三、多维随机变量及其分布
    考试内容
    多维随机变量及其分布二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性常用二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布
    考试要求
    1.理解多维随机变量的概念,理解多维随机变量的分布的概念和性质,理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布,理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度,会求与二维随机变量相关事件的概率.
    2.理解随机变量的独立性及不相关性的概念,掌握随机变量相互独立的条件.
    3.掌握二维均匀分布,了解二维正态分布的概率密度,理解其中参数的概率意义.
    4.会求两个随机变量简单函数的分布,会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.
    四、随机变量的数字特征
    考试内容
    随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望矩、协方差、相关系数及其性质
    考试要求
    1.理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)的概念,会运用数字特征的基本性质,并掌握常用分布的数字特征.
    2.会求随机变量函数的数学期望.
    五、大数定律和中心极限定理
    考试内容
    切比雪夫(Chebyshev)不等式切比雪夫大数定律伯努利(Bernoulli)大数定律辛钦(Khinchine)大数定律棣莫弗-拉普拉斯(DeMoivre-Laplace)定理列维-林德伯格(Levy-Lindberg)定理
    考试要求
    1.了解切比雪夫不等式.
    2.了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量序列的大数定律).
    3.了解棣莫弗-拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布)和列维-林德伯格定理(独立同分布随机变量序列的中心极限定理).
    六、数理统计的基本概念
    考试内容
    总体个体简单随机样本统计量样本均值样本方差和样本矩分布分布分布分位数正态总体的常用抽样分布
    考试要求
    1.理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念,其中样本方差定义为
    2.了解分布、分布和分布的概念及性质,了解上侧分位数的概念并会查表计算.
    3.了解正态总体的常用抽样分布.
    七、参数估计
    考试内容
    点估计的概念估计量与估计值矩估计法最大似然估计法估计量的评选标准区间估计的概念单个正态总体的均值和方差的区间估计两个正态总体的均值差和方差比的区间估计
    考试要求
    1.理解参数的点估计、估计量与估计值的概念.
    2.掌握矩估计法(一阶矩、二阶矩)和最大似然估计法.
    3.了解估计量的无偏性、有效性(最小方差性)和一致性(相合性)的概念,并会验证估计量的无偏性.
    4、理解区间估计的概念,会求单个正态总体的均值和方差的置信区间,会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间.
    八、假设检验
    考试内容
    显著性检验假设检验的两类错误单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验
    考试要求
    1.理解显著性检验的基本思想,掌握假设检验的基本步骤,了解假设检验可能产生的两类错误.
    2.掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验.

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