2017考研大纲解析：大纲解析之线性代数(四)

　　从最新公布的2017年考研数学大纲来看，今年的考生不会有任何复习范围的调整之忧，你们完全可以按照自己原来的计划进行复习，那么接下来如何复习就成为考生需要关注的问题。

　　本文以逆矩阵为例，来介绍一下考生在这一块的复习重点。首先是概念，逆矩阵这一模块有两个概念：逆矩阵和伴随矩阵。对于逆矩阵这个概念，考生应该抓住两个关键点：逆矩阵的讨论范围是方阵;必须同时满足。对于逆矩阵，存在两个核心问题：第一，可逆性的讨论，即，找到矩阵可逆的充要条件;第二，求一个矩阵的逆矩阵。我们这个模块的内容就是围绕着这两个核心问题展开的。要回答这两个问题，直接靠定义不好解决，我们可以从定义出发，看可逆矩阵有哪些性质。逆矩阵的性质有六条：若矩阵可逆，则逆矩阵唯一;若矩阵可逆，则、可逆，且，;若矩阵可逆，且，则可逆，且;若矩阵、均可逆，则也可逆，且;若矩阵、均可逆，则，;若矩阵可逆，则。对于这六条性质，考生要清楚是用来做什么的。其中，前五条性质是用来求矩阵的逆矩阵的，第六条性质，有两个用处，可以用于求行列式，也可以得到矩阵可逆的必要条件：。

　　要找到矩阵可逆的充分条件，需要借助一个工具，就是伴随矩阵。对于伴随矩阵的概念，考生也要抓住两个关键点：1)伴随矩阵中的元素是代数余子式;2)伴随矩阵中的元素排列顺序：第列的元素是第行元素的代数余子式。对于伴随矩阵，考生重点掌握两个公式：1);2)。这两个公式的适用范围不同，其中，当已知矩阵可逆时，使用公式2);若矩阵不可逆，或矩阵是否可逆未知时，使用公式1)。由公式1)可知，若，则有矩阵可逆，并且。由此，我们就得到了矩阵可逆的充要条件就是。与其他章节相结合，我们可以得到该充要条件的其他描述方式：，线性方程组有唯一解，齐次线性方程组仅有零解等。由矩阵可逆的充要条件出发，我们可以得到如下推论：矩阵为方阵，若存在矩阵，使得或，则矩阵可逆，且。

　　由此，我们可以总结出，求逆矩阵的方法：1)定义法：只要凑出或，就可得到;2)利用伴随矩阵：，该方法适用于二阶矩阵求逆矩阵;3)初等行变换方法：适用于三阶及三阶以上矩阵求逆矩阵;4)利用逆矩阵的性质。

　　对于逆矩阵这一模块的学习，考生重点从可逆性讨论以及逆矩阵的计算这两个方面去把握就可以了。