2017考研大纲解析：微分中值定理“病症”

　　微分中值定理一直以来是高数中的重点也是难点，大家对他没有免疫力，见到这种题就中枪。因为微分中值定理这部分主要考证明题，大家看到证明题，就直接放弃。这和同学们不理解微分中值定理以及各定理之间的关系有关。下面我为大家整理了中值定理这部分考研的命题方向和特点，为大家提出系统化的思路方法。

　　首先我们要知道微分中值定理有哪些，并且知道这些定理的证明思想。费马引理是微分中值定理的基础。微分中值定理有3个，分别是罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。

　　1、罗尔中值定理若满足：(1)闭区间上连续;(2)开区间可导;(3)则在开区间内至少存在一点，使得。

　　在这里我们要注意罗尔中值定理的条件，区间问题不容忽视，而且我们还要会证明。这里我简要说明一下，这个证明利用了闭区间连续函数的性质，最值性和介值性定理。

　　2、拉格朗日中值定理若满足：(1)闭区间上连续;(2)开区间可导，则在开区间内至少存在一点，使得。在这里我们可以看出罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况。我们要知道这个定理的证明思想，并且在2009年数一二三就考了拉格朗日中值定理的证明。其次我们还要掌握拉格朗日中值定理的变形。下面我们来证明一下拉格朗日中值定理。

　　证明：构造辅助函数，在上连续，在上可导，且则由罗尔中值定理得，在开区间内至少存在一点，使得，证毕。在微分中值定理的证明题中一般都会用到这个思想就是构造辅助函数，目的是要用到罗尔中值定理。其实我们这里的辅助函数可以有很多种，比如我们还可写成，只要根据结论构造适当的函数满足罗尔中值定理的要求就可以。

　　3、柯西中值定理若，满足：(1)闭区间上连续;(2)开区间可导且，则在开区间内至少存在一点，使得。同样我们可以看出拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，令即可。下面我们来证明一下柯西中值定理。

　　证明：构造辅助函数，显然满足在闭区间上连续，开区间可导且满足罗尔中值定理，则在开区间内至少存在一点，使得，即，证毕。在这里辅助函数我们也有很多种，满足罗尔中值定理就可以。

　　柯西中值定理

　　拉格朗日中值定理

　　罗尔中值定理

　　从上面我们可以得出三个定理之间的关系为

　　在考研数学中，微分中值定理只要记住理解他们，注意他们使用的条件，以及证明的思想(构造辅助函数)，我觉得这种证明题我们就不要担心了。

　　祝大家考研成功!