碎片挑战：常见数学小问题集锦（1）

　　摘要：在数学备考的过程中，我们大都会把自己沉浸习题的海洋里，做题，查答案，做题，查答案，如此反复，不免枯燥。于是，小编找来一些有趣的数学小题目，快利用你的碎片时间来挑战一下吧。

　　1、设函数f(x)在(-∞，+∞)内单调有界，{xn}为一数列。下面命题正确的是(  )
　　A、若{xn}收敛，则{f(xn}收敛。

　　B、若{xn}单调，则{f(xn)}收敛。

　　C、若{f(xn)收敛，则{xn}收敛。

　　D、若{f(xn)}单调，则{xn}收敛。

　　解题思路
　　（1）——（C）（D）都不对的关键在于：在本题条件下，就算相应的函数值列收敛或单调，自变量列xn可以是趋向正无穷的，没有极限。

　　（2）——（A）情形只知道自变量列xn收敛，它可能不是单调的。

　　单调的函数不一定连续。且，“如果单调函数在单调区间内一点x0间断，则只能是跳跃间断。”（实际上，如果函数在x0的左右极限相等，则f（x0）只能等于极限值，否则就破坏了单调性。）

　　设想xn既有子列从左边，又有子列从右边趋向点x0，则自变量列收敛于点x0而相应的函数值列却不收敛。故（A）错。

　　反例：x小于0时f=x，f（0）=1，x大于0时f=2+x

　　（3）——（B）对。在本题条件下，若自变量列单调，相应的函数值列必定也单调。且是有界的。

　　2、f(x)在[a，b]上可微，且f‘(x)在（a，b）内单调增加，又f(a)=f(b)=A（常数），证明，在（a，b）内，恒有f(x)<A.

　　解题思路
　　这是个运用“构造法”的好题。

　　f(x)在[a，b]上可微，自然连续。f(a)=f(b)=A，故由洛尔定理，（a，b）内存在一点c，f′(c)=0

　　已知f′(x)单增，故零点唯一。且在（a，c）内f′(x)＜0，f(x)单减，f(x)<f(a)

　　而在（c，b）内f′(x)＞0，f(x)单增，f(x)<f(b)

　　从而在（a，b）内，恒有f(x)<A.

　　3、计算极限小总结
　　（1）非零的因式先求极限。

　　（2）0/0型未定式题目的两个主要类型——

　　分子（或分子分母各）是“等价无穷小相减产生的高阶无穷小”——

　　应对手段：连续使用洛必达法则。

　　修练方法：利用五个常用函数的幂级数展开式，尽可能多记一些等价无穷小

　　分子分母是“不同阶的无穷小的线性组合”，（无穷小多项式）——

　　应对手段：(化零项法)分子分母同除以商式中的最低阶的无穷小，各项分别取极限。

　　4、（每段是初等函数的）分段函数求导，分界点处用定义计算，各段用法则与公式。老老实实地记与做，既简明又少犯错误。
　　当然，你可以懂得更细一点。可导一定连续。不连续必然不可导。连续是讨论可导性的前提。

　　函数在点a可导的充分必要条件是左右导数存在且相等。

　　在定义分界点a的一侧，比如右则。可以用定义求得右导数。同时，在右側这一段内，你用法则与公式求出了导函数。自然就会产生一个想法，能否以此求极限得到点a的导数。这是锤炼知识及思维细密性的好时机。

　　（1）如果求极限，是求导函数在点a的右极限。这个右极限存在吗？

　　（2）按照定义求右导数。“右导数”与“导函数在点a的右极限”是两回事。

　　（3）如果这个右极限存在，它和“右导数”相等吗？

　　用拉格郎日公式可以证明，“如果导函数在点a的右极限存在，则函数在点a的右导数一定存在，且两者相等。”（一个好练习题！）

　　左侧可以类似讨论。

　　结论：验证了分段函数在分界点a连续后，在两边区间内各自求导。令x趋于a，分别求导函数的极限。若两者相等，它就是函数在点a的导数。若两者不等，函数在点a不可导。

　　前提很清晰，这样处理也可以。