碎片挑战：常见数学小问题集锦（2）

　　摘要：微积分如果用心去学你会发现很多乐趣，然后在解题的过程享受这些小小的成就感，何乐而不为呢。快来看看这位朋友分享的一些小乐趣吧。

　　▶被积函数是连续函数f（x）的积分上限函数F（x）可导，且导数就是f（x）。

　　逆向思维，这就用“构造法”证明了：连续函数一定有原函数。

　　把“作上限函数”视为一种变换方式，从条件角度看，相当于通过变换将连续函数提升为可导函数。《广义函数》理论中，在不光滑点（连续不可导点）微局部地实施这样的变换，就好象是用“沙轮”把曲线“尖点”给磨光了。故称之为“磨光变换”。

　　当年武汉X中有个学生入选中国中学生奥数代表队。在清华北大的集训中，他将这套技术学得很精。正式参加世界大赛时，决赛卷上最后的坡度题恰好用“磨光变换”最简单。这个小子设计了“磨光变换”逼近列，很快地完成了解答。自信无误之际，竟在草稿上画卜克游戏玩。新华社电讯稿报道中学生奥数代表队夺金时，记者把“磨光变换”写成了“魔光变换”，好不吓人哦。

　　这里有一个有趣的联想。如果f（x）仅有第一类间断，那么相应的上限函数是否一定连续呢？

　　结论是，“相应的上限函数一定连续。”

　　（画外音：考研题中出现过一次。）

　　在《概率统计》中，连续型随机变量X的分布函数就是密度函数的上限函数。它一定连续。由于密度函数非负，证明这个结论，用连续的增量定义最简明。

　　要注意的是，设f（x）有跳跃间断点a，相应的上限函数在点a虽然连续，却一定不可导。即改善是有一定限度的。

　　要证明这个结论正好用上我的“有意思（4）右导数与导函数的右极限”。

　　实际上，设点a左側，f（x）=初等函数φ(x)，右侧f（x）=ψ(x)，φ(x-0)≠ψ(x+0)形成跳跃间断。记f（x）相应的上限函数为F（x），则F（x）在点a连续，但是

　　左側求导F′(x)=φ(x)，右側求导F′(x)=ψ(x)，φ(x-0)≠ψ(x+0)

　　F（x）在点a不可导。

　　在点a的邻域内，F（x）不是f（x）的原函数。

　　相当一些“模拟卷”上有这样的题目。可以算是“擦边球”。

　　▶《概率统计》不是第一层次基础课程。学习《概率》需要你有较好的《高等数学》基础。

　　比如，计算D(卡方(1))就是个大综合练习。

　　（潜台词：D(卡方(n))=2n）

　　预备1——我们知道，exp（x2）是四个“典型不可积”中最为露脸的一个。正态分布的密度函数与它同为一家，但是密度函数在全直线积分为1。在历史上，人们曾利用这个特点及定积分技巧来计算一些无穷积分。

　　计算D(卡方(1))，最尾端就要用到它。

　　预备2——我在“讲座”中逐讲给大家建立一个“材料库”。最早在（5）中有一条

　　“x趋于+∞时，指数函数exp（x）是比任意高次方的幂函数都还要高阶的无穷大。”

　　或者说，“x趋于+∞时，函数exp（－x）是任意高阶的无穷小。”

　　预备3——分部积分的要点是“变化”

　　∫甲·乙dx=（甲的一个原函数)·(乙)－∫(甲的这个原函数)·(乙的导数)dx

　　设X服从标准正态分布，我们计算D(X2)，即证明D(卡方(1))=2

　　鉴于输入问题，我写出步骤，大家在纸上划一下

　　（1）用平方关系来算D(X2)，得先算均值E(X四次方)

　　设f（x）是N(0,1)的密度函数，求E(X四次方），被积函数x四次方f（x）在全直线积分

　　分x四次方f（x）=x3·xf（x），注意xf（x）的原函数恰是－f（x）

　　分部积分一次，求极限知第一部分答案为0，(运用预备2)

　　第二部分是3x2f(x)在全直线积分

　　再分x2f(x)=x·xf（x）,又分部积分，同样求极限知第一部分答案为0，

　　第二部分已是3倍密度函数f（x）在全直线积分，当然为3

　　（2）用平方关系来算

　　我常常开玩笑把平方关系E(X2)=μ2+σ2称为“概率勾股定理”。

　　D（X2）=E(X四次方）-（E(X2)）2=3－1=2

　　怎么样，有点意思吧。

　　▶如果你作了一个假设，你就建立了逻辑推理的一个基本点。如果你还要作第二个假设，那得小心思考，新的假设是否与第一个假设独立。

　　一个同学在论坛上发贴，先设“对任意x，总有f（x）＞x”，推出“f（f（x））＞f（x）”，突然又假设“f（x）单减”，然后就不明白，“为什么会矛盾”。这就是没考虑逻辑，随意作第二个假设造成的。

　　数学历史上，正当人们陶醉于“集合理论”与“勒贝格积分”等成果的完美之际，“悖论”的出现给大家当头一棒，砸得人晕头转向。仿佛有世界末日来临的感觉。以至于对很多成功的“公理化假设”也提出怀疑：“是否在筑好篱笆之时，已经圈进了狼？”

　　思考“第二假设是否与第一个假设独立”，有时的确较为困难。

　　看一个线性代数问题。

　　（讲座（40））例15设n维行向量组a1，a2，---，ak线性无关，k＜n，以它们为系数作有k个方程的齐次线性方程组。若向量β是这个方程组的非零解。试证

　　向量组a1，a2，---，ak，β线性无关。

　　例15是原数学四的考题。它可以深化为，

　　*例“设向量组β1，β2，---，βr线性无关，向量组ξ1，ξ2，---，ξk线性无关。若前一向量组的每一个向量都与后一向量组的各向量正交。则两向量组的合并组线性无关。（暂时不写一个条件）

　　证明设有一组数C1，……，Cr，Cr+1，……，Cr+k，使得

　　C1β1+……+Crβr+Cr+1ξ1+……+C(r+k)ξk=0

　　用β1对等式两边作内积，得β1ˊβ1C1+……+β1ˊβrCr=0

　　用β2对等式两边作内积，得β2ˊβ1C1+……+β2ˊβrCr=0

　　…………

　　用βr对等式两边作内积，得βrˊβ1C1+……+βrˊβrCr=0

　　现在，问题归结为，证明这个齐次方程组仅有零解。

　　问题延伸1，若记A=（β1，β2，---，βr），则系数矩阵恰为AˊA

　　（潜台词：矩阵乘法，“左行右列作内积”）

　　问题延伸2，秩R(A)=秩R(A′A)

　　证明作齐次线性方程组AX=0和A′AX=0，AX=0的解显然都是A′AX=0的解。

　　如果列向量β是A′AX=0的解，则

　　内积(Aβ)′(Aβ)=β′A′Aβ=β′(A′Aβ)=0

　　这说明Aβ=0(向量),即A′AX=0的解也都是AX=0的解。两方程组同解。

　　解集秩n-R(A)=n-R(A′A)故秩R(A)=秩R(A′A)

　　前述关于C1，……，Cr的齐次方程组仅有零解。带回假设式，由后一向量组的线性无关性知,其余系数也全为零。故两向量组的合并组线性无关。

　　（画外音：这是一个可以记住的结论。请体会证明的特色。）

　　好象什么问题都没有？！？！？！联想“n+1个n维向量线性相关”,这里还有向量个数问题。在没有限定向量个数时，第二个假设，“前一向量组的每一个向量都与后一向量组的各向量正交”，不一定成立。必须先说“k+r≤n”

　　这个条件不影响证明。

　　有点复杂。不算太难。内涵丰富，慢慢体会。