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2018考研数学考点解析:一元函数积分学

  摘要:2018数学考试大纲已公布,下面结合新考试大纲的要求,来解析考研数学一元函数积分学的考察方式和备考中需要重点掌握的知识点。

  一、大纲整体要求

  大纲中要求,理解原函数的概念,理解不定积分的概念,掌握不定积分的的基本公式,掌握不定积分的积分方法,主要是换元法和分部积分法。关于一元积分学这章节还包括:定积分的定义,性质;微积分基本定理;反常积分以及定积分的应用这几个部分。这几个部分各有各的侧重点。而其中有关定积分的定义是要求考生掌握的重点,要充分理解微积分基本定理还要掌握定积分在几何和物理上面的应用。

  至于反常积分这一块,会计算简单的反常积分,了解反常积分的概念并会判别收敛性,像2016年数学一第一道选择题就是考查反常积分的收敛性问题。去年就是由于很多同学对反常积分的敛散性的判别不熟,从而导致了选择题做的不顺,时间久耽误了,以至于影响到了后面的大题的解析。

  二、定积分

  (1)关于定积分的定义及性质。这里要求同学们一定要理解分割、近似以及求和还有取极限这几个步骤。与此同时还要求同学们知道其几何意义及定义中我们所要注意的地方。早在2016年数学二、数学三出了道填空题,是利用定积分定义来做的,而2017年考研数学一、数学三又出了道10分的计算题,因此希望这一部分能引起同学们的一定的重视。对于n项和求极限的问题,我们知道主要是利用夹逼定理和定积分定义两种常用方法。因此,对于这一部分的内容与数列极限结合是要重视的。

  (2)关于定积分中的区间可加性、积分中值定理、比较定理这几个是同学要掌握的,而对于微积分基本定理这一块的知识点是非常重要的。关于切线与法线;以及单调性;极值;凹凸性的应用与变上限积分函数是可以相关联的。关于变上限积分函数,要掌握变上限积分求导,这一块知识与极限结合,就是我们常见的一种极限形式,即含有变上限积分的极限计算题。像2017年考研中的第一道极限的计算题就是有关变上限积分的极限计算问题。

  (3)有关定积分的应用部分。关于定积分的定义这一块,希望同学们掌握住,其主要就是利用微元法在几何上应用,对于数一和数二的同学还要求掌握物理上面的应用。数学三的同学要掌握用定积分求面积及旋转的体积。各种旋转体的体积是要求必须掌握的,在真题中确实出现过定积分几何应用于微分方程结合出题的,而对于数学一和数学二除了平面图形的面积和旋转体的体积外,还要求掌握用定积分求曲线弧长、旋转曲面的侧面积。

  三、反常积分

  这块内容在2016年考研数学一的第一道选择题出现了,当年很多同学无从下手。由于对这一块知识的生疏,以至于这一道选择题就花了二十多分钟才解决,这个是不应该的。其实在某种意义上,当年2016年考的那题敛散性的选择题,是有些超纲的,而2017年考研对于这块的知识出了道填空题,是关于反常积分的计算题。这一块的内容大纲解析要求考生了解反常积分的基本定义,会计算反常积分。没有其他内容,所以收敛这一块应该是不会太为难考生的,而关于反常积分的计算,同学们就当作定积分来求就可以了。

  对于一元函数积分学这一块内容是同学们要重视的重要部分,一元函数的积分计算的二重积分以及三重积分等的基础,希望同学们好好努力,都有个好成绩。加油!

 

      (实习小编:松楠)

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