考研数学学不会，要如何逆转？

　　摘要：考研数学作为一门抽象类的学科，学起来往往是一知半解，久而久之考生就会对数学这一学科丧失信心。数学学不会，对考研初试中必考数学的同学是一大禁忌。关于数学，我们总是在机械的阶梯，却从未深入研究过，数学考察的是什么？也难怪你总是得不到考研数学的青睐了。

　　►我的数学学习历程及遇到的困难

　　在数学的学习过程中，到底会遇到什么样的困难？以下是帮帮小编根据大家的评论总结的：

　　1.数学内容抽象，看不懂。

　　2.知识点太多，记不住。

　　3.题目太难，遇到难题不会做。

　　4.找不到人讨论，太枯燥。

　　因为大学的学习特点，不像高中，大家都学一样的东西，然后按照同样的节奏在走，所以遇到同样的学科，还能讨论一下。可是大学呢，找人讨论都很困难，各忙各的，所以就显得这个学习过程很枯燥。

　　5.时间太短，压力大。

　　怎么时间太短了呢？从现在到考研只剩6个月时间，而这6个月也不是全部都给了数学，还有许多其他科目。其实计算下来也就没有多久了。

　　有个朋友说，“眼睁睁看着老师把一道全是英文和希腊字母的题，最后解出的答案竟然是阿拉伯数字，直到现在还费解。”这些实际上是指高等数学比较抽象。

　　►数学到底是什么？

　　要读懂高等数学，我们必然会问这样一个问题，数学究竟是什么？以高等数学为例，大家在网上常常会看到这样的所谓知识结构图。

　　在这副图里面，把高等数学比喻成一棵大树，函数是这棵大树的根，我们高中的数学里面都已经学过了，如反函数、奇偶函数的奇偶性、初等函数、复合函数等等；然后这棵大树的主干是函数的极限，也就是我们高等数学的第一章，函数的极限。

　　在左边，函数的极限生长出一个大的分支，叫做导数与微分。导数与微分首先涉及到中值定理，微分中值定理和中值定理的应用。然后它又导向了第二个分支，多元函数的微分学，而函数的极限又引出了另外一个大的分支，叫做不定积分，不定积分一方面，引向定积分与定积分的应用，另一方面又引向了常微分方程。这不是思维导图做的，这就是直接在这棵大树上面加上去的一些，用PPT就可以做出来。

　　像这样的图像对大家把握一门知识是有利的，但这样的图片也会造成一个误导。导致我们把数学仅仅当做知识来看待。因此产生了数学学习的巨大的困难和障碍。因此学习数学的第一个误区就出现了：把数学仅仅当做知识来看待。

　　我们看看大数学家们是怎么看数学的。

　　比如这本书叫做《什么是数学》，副标题是“对思想和方法的基本研究”，它的作者是柯朗。柯朗是20世纪最伟大的数学家之一，美国有一个世界闻名的柯朗研究所。很多大科学家对这本书有高度的赞誉，比如爱因斯坦说，“本书是对整个数学领域中的基本概念及方法的透彻清晰的阐述”；爱因斯坦的好朋友，韦尔是20世纪伟大的数学物理学家，他称赞，“这是一本非常完美的著作，被数学家们视作科学的鲜血的一切基本思路和方法。在《什么是数学》这本书中，用最简单的例子，使之清晰明了，已经达到了令人惊讶的程度”。

　　看到爱因斯坦和韦尔评价这本书的话，我们都很想去读一读这本书究竟在讲什么，但是如果大家去看这本书，多数人会感到失望。

　　为什么会失望呢？是因为这本书里面进的东西，我们看起来似乎很简单，比我们教科书的内容还要简单一些。那为什么这样一本书会受到如此高度的赞誉？实际上这本书看似内容并不复杂，但是它却告诉了我们一件事，那就是数学究竟是什么？它的答案就是：数学的本质是思维技能！

　　我们看一看，高等数学的所有部分都贯穿着同样的思维结构。

　　►这个思维结构是什么？

　　就是从问题引入定义，这个定义一般会对应着几何直观；然后定义又引入定义的性质，比如导数的性质，极限的性质等，另外，定义包含着运算，比如导数，从导数的定义直接就可以推出运算法则。然后从定义和运算法则和性质，会推出一系列的定理，这些定理在各个复杂的数学情形中进行应用，乃至应用于其他的领域，包括物理学，经济学，生物学等等。

　　这里关键在于所有的数学分支都是这么同样的一个结构，几乎是完全相同的，大家看看这个说法是不是有道理，大家回忆一下，是不是高数的所有分支都是这样一个同样的结构。

　　如果我们把高等数学的本质当做思维技能来看待，我们立即能回答很多问题，比如说为什么平时做题不错，而考研成绩却不佳，其实最重要的原因是把数学仅仅当做知识来学，因为考研的时候，就它不会考同样的题目。题型还会变动，我们的记忆是会波动的，如果我们着眼于这个思维技能，我们就会发现，技能比知识的记忆要稳定得多，技能比知识的记忆要快得多，技能往往是一种自动化的东西，而知识需要想半天。

　　我们从一个正面的例子来看，有一位考生，他在考研过程中感冒，前两科就感冒，考到数学的时候还感冒，结果他数学还是考了143分，考的是数学一，他用的参考书全是2013版的，本来是2014年考研，应该用2014年版的参考书，但是他用的2013版的。为什么他能够做到这一点，实际上数学在他大脑中，变成了这个思维的技能。

　　可能很多人仍然不理解：数学知识和数学的思维技能究竟有什么差别？

　　举一个例子，看过一万遍钢琴谱的人会弹钢琴吗？甚至弹过一万??********的人，能弹好曲子吗？显然不一定啊。所以当我们去学数学的时候，我们看许多遍书，不一定有效。看许多遍视频，也不一定有效，即便是练过许多题目，也不一定有效，因为这么做的人多了，考的成绩不理想的。这么做的人，考的成绩不理想的人，比比皆是。

　　那么什么才是核心？什么才是关键？

　　最核心的是训练数学的思维。

　　►数学思维

　　当我们看书的时候，当我们看视频的时候，当我们练习题目的时候，如果我们关注的是如何训练自己的数学思维，这样才会产生效果。这种训练会训练出一种思维技能，数学的思维技能，而这种技能是贯穿于数学的所有分支，所有部分的。

　　这种技能甚至还可以迁移到其他领域，如果我们把数学看作思维技能的话，立刻可以理解为什么数学成绩很突出的人，反而不去记很多东西？就像我刚才讲的那位师弟，在黑板上出一道积分的题目，我们来出题，我们在那讨论，他站在那30秒钟直接报了个答案。他就是这种类型的人，他不会记很多的数学知识，但他却能迅速解题。为什么？因为他们必要的时候可以推导出来，把公式推导出来，这些知识在他们大脑中是一个有机的记忆，甚至是自动化的。

　　数学思维的精髓究竟是什么？

　　爱因斯坦在《物理学的进化》开篇就讲，“提出一个问题，往往比解决一个问题更为重要，因为解决一个问题，也许是一个数学上或实验上的技巧，而提出新的问题，新的可能性，从新的角度看旧问题，却需要创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。”

　　这段话用来描述我们数学学习的过程，同样恰当。可以这么说，在数学的学习历程中，提出一个问题往往比解决一个问题更为重要，因为解决一个问题，也许是一个数学上的技巧，而提出新的问题，新的可能性，从新的角度看旧问题，却需要创造性的想象力，而且标志着数学学习的真正进步。

　　►数学学习的九个境界

　　数学精深训练有九个台阶。

　　第一个台阶是能看懂。

　　第二个台阶是能记住；

　　第三个台阶是会解题；

　　什么是能看懂？能看懂，就是能够懂得数学定义，定理，公式的来龙去脉。一看到这个定理、公式，脑子里面盘旋的一些问题，我们一一找到答案，我们要从内心里面去回答，那么找到的答案越多，做出来的问答越多，我们就懂得的越多，这就是能看懂的含义。

　　往往是这一步，使得很多人难以入门，一旦我们做到这一点的话，我们马上就迈上了第一个台阶，迈上第一个台阶之后，能记住会解题，只要我们把那些最基本的东西给做出来，做一遍，亲自动手去算一遍，那么我们马上就会跨过第二个、第三个台阶。

　　这样的话，考一个及格的分数就不成问题了。有不少人把高数的考研目标定为90分，实际上做完刚才所说的这些，每一章，每一节都这么去做的话，考90分根本不成问题。

　　第四个台阶是熟练解题；

　　在解题的过程中不断地进行这样的有意识的思维操作的训练，那么熟练解题也为之不远了。

　　第五个台阶是会梳理；

　　什么是会梳理？刚才已经给大家分享了数学的基本结构是什么？每一章都在重复同样的基本结构，把那些知识点都给汇总到这个知识结构里面，就是会梳理。包括我们每一章都在用什么样的运算技巧？大家心里面有没有数，这一章我们会用到什么，什么样的运算技巧，能不能1、2、3、4、5、6、7、8，这么列出来，一是一、二是二的列出来，如果这么做了，那肯定是会梳理了。

　　第六个台阶是融会贯通；

　　什么是融会贯通？比如导数，是从什么问题引入的？导数的定义，它的严格的定义是什么？它对应的几何直观是什么？导数怎么推出导数的四则运算法则？导数的定义和运算法则又有什么用？能解什么样的题目？如果我们一步步这么做下来的话，那就是融会贯通了，对这一章，这一节融汇贯通了。

　　第七个台阶是把握数学思维；

　　什么是把握数学思维？所谓的数学思维就是一个一个的基本的思维操作，像加、减、乘、除法，各种类型的加、减、乘、除法，像加一项、减一项，像它的定义，为什么会有这样的定义？它的问题是什么？这个定义能解决什么问题？当我们提这些问题，去找它的答案的时候，按照这样的思维去训练的时候，我们就把握数学思维了。

　　第八个台阶是体验学习的乐趣；

　　一旦我们做到前面这几步的话，那数学的学习自然就有乐趣，设想一下，我们面对一块黑板或者一张白纸，我们从导数的定义开始做起，一下就把这一套全都写下来了，不用看参考书，从导数的定义一直推出这个导数的运算法则，解出一些基本函数的导数，然后解出更复杂函数的导数。这里面能没有乐趣吗？当然有乐趣了。而且我们回答了心中的一个又一个的问题，而这些问题呢，它不但可以提高成绩，还可以跟其他人来交流，给其他人带来启发。

　　第九个台阶是能够投入，忘我的学习。

　　达到第八个台阶就很容易到达第九个台阶了，就是乐此不疲，我们称之为心流，flow。我们这样子学习三个小时的数学，感觉时间才过了半个小时一样。

　　四、五、六、这个台阶迈上去，那么我们数学考个优秀的成绩，考个120分，就不是问题了，如果我们到达了这七、八、九，这三个境界，那么考更高的成绩，像我刚才那个师弟讲的，考130分，140多分，那就是完全有可能的了，因为你都觉得数学学习都不是负担了，不是障碍了，不是痛苦而是享受了，解道难题会带来巨大的乐趣啊。

　　►读不懂数学怎么办？

　　1.我们学习数学，必定需要扎实的基本功，这个基本功是什么？

　　就是刚才讲的那个基本的思维技能，但可惜的是许多人不曾掌握这个思维技能，甚至都没有意识到，我们在做数学的过程中，在不断进行同样的思维操作，那个思维操作就是：基本的问答，不断在做问答，不断地在做加、减、乘、除法，不断地在从问题到定义，到定义的性质，到运算法则，到定理，到定理的应用去解题目，不断地在进行这样的或大或小的思维操作，这些思维操作，就是数学思维的基本的技能，也就是我们学数学的基本功。

　　2.任何技能的学习，任何技能的掌握，必定是先慢后快

　　著名数学家小平邦彦，在一开始读不懂数学时，选择了抄书，他把一整本书完完整整的抄了一遍。但如果他一本本地去抄，当但数学的文献浩如烟海，经典著作多得不得了，他如果都是这么慢慢的抄的话，那得抄到何年何月？正因为他抄的过程中，他不断地去熟悉和训练自己的思维技能，任何数学分支都有同样的结构，一旦熟悉这个技能，那就熟能生巧了。

　　反之，一旦我们前面的东西没掌握，认为它很简单，认为它很显然，认为它不值得一做，很可能在遇到那个考研题目的时候，我们都没有解题思路，甚至有解题思路，我们做不对，做不出来，

　　3.不要纠结于有没有天资，除非努力过。

　　即便是数学家，他们学数学的初期，仍然遇到很大的困难，我们在学高数的过程中，遇到困难的时候，看不懂的时候，题目做不出来的时候，经常会自我怀疑，是不是我数学真的就不行啊？我没有数学思维啊？

　　不是，不是那样子的。认知神经科学的研究表明，我们天生下来就有数学思维。严格的论证，之后跟大家来分享一下。不要再纠结这个问题了，除非我们努力过。连这样的数学家都做过这样的努力，那我们，我们问问自己，我们有没有做过这个与之相，相当的这个努力。

　　4.“如果世界上有奇迹，那只不过是努力的代名词”

　　我们能解一道题目，中等难度的题目，只不过是由那些基本的知识点，那些基本的思维操作所导出来的。一道更难的题目也是一样的，我们解了一道很难的题目，会感到骄傲，感到是个奇迹，那只不过是我们以前以往点点滴滴的努力累积出来的，就是像积分一样，一点一点的积累出来的。

　　5.没有绝对懂与不懂，关键是我今天有没有懂得更多。

　　我今天懂了多少，我今天究竟懂了什么？我今天找到了哪些问题的答案，这是关键。包括我们在做一道题目的时候，我做错了，做错的话，我有什么收获？我做对了，也要问自己究竟收获了多少？一是一，二是二，三是三，我们有没有这么去做？这样做非常关键。

　　（实习小编：晴天）