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考研数学:6个大招!修炼矩阵求高次幂秘籍

  摘要:关于方阵的高次幂(求矩阵A的n次方这种),是刷题中经常遇到的一种类型,有时候很简单的一个矩阵,它的高次幂却很难求,考研中对其考察的频率并不是很高。今天来理一下常用的几种方阵求高次幂的方法。

  第一步最重要的是观察所给矩阵的特征,根据其“典型特征”选用不同的方法,这一步可以很好的理清思路,避免脑子里一团乱。

  第一种,利用矩阵的迹求高次幂

  适用情况:r(A)=1或矩阵的各行或各列成比例,这种矩阵一般可以化简成A=αTβ(即一个列向量与一个行向量的乘积的形式)



  第二种,二项式展开法

  适用情况:矩阵A是上(下)三角矩阵,且主对角线的元素全为1(注意这里只能是主对角线的元素全为1,不能是副对角线)

  这样就可以把矩阵A拆成A=E+B,利用二项式展开求其幂。



  这里有个小结论,如例题中的矩阵B,若矩阵主对角线都是0元素,且是上(下)三角阵,那么在求若干次幂之后,会变成0矩阵,这个大家可以自己去尝试一下。

  第三种,利用自乘产生的递推式、数学归纳法

  适用情况:矩阵中元素以0,正负1为主,且元素分布比较规律,例如对称分布,反对称分布。此类矩阵自乘一两次后会出现明显规律。



  此类情况在自乘后产生递推规律,除了可以直接观察写出结论,也可以利用数学归纳法进行证明。

  第四种,利用分块矩阵求幂

  适用情况:矩阵的某一局部有0元素集中,且矩阵为四阶及以上的,一般高阶矩阵很容易就能看出是否能化成如下的分块矩阵。



  第五种,利用相似性求幂

  适用情况:实对称矩阵,且矩阵的元素不为0,正负1这些

  实对称矩阵必可相似于对角阵,若用前面第三种方法来算,若矩阵元素不为0和1,运算起来又很麻烦且第三种方法发现不了明显规律,所以可以用对角阵来求幂。



  第六种,利用特征值求幂

  适用情况:此类求幂,并不是单纯的求矩阵的幂,其主要与特征值特征向量结合在一起,旨在考察对特征值定义的理解。



  以上就是方阵高次幂的常用的几种解法了,考研考察的范围基本也在上面六种之中,其中第三种利用递推式、数学归纳法是属于较难的那种,其余的也就是计算量略大。

  (实习小编:咕咚)

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