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考研数学易错点:分段函数求高阶导

  摘要:对于分段函数求一阶导,各位怕是早已烂熟于心,那么求高阶导数呢?大家是不是会经常出错,但也发现不了错误在哪里,今天帮帮就教大家分段函数求高阶导。

  不仅是分段函数,对于一般的函数,求个三五次导还好说?求n次导呢?一般对于这种无法实现的求导,就可以将导数与级数结合在一起。

  (导数如此,那么其他地方呢?其实,有些看似不可积的函数,与级数结合后未必不可积哦!)

  从一道经典的题入手



  先来复习一下分段函数的一阶导数怎么求:

  连续的部分直接用求导公式求

  分段点处的导数值用导数的定义求

  接下来看高阶导数,先看操作

  那么y(x)的导数就可以写成



  接下来看高阶导数,先看操作



  然后化简一下



  然后我们发现,当x=0时



  那么我原来的分段函数就可以如下表示



  也就是我的分段函数用一个式子表示出来了。

  下面我们来理一理思路:

  首先,这是一个求导题,而且是求高阶导

  求导我们一般有两种方法

  一是用定义,这对于分段函数分段点的导数貌似很合适

  二是用求导公式,一般连续函数才能用这个方法

  但是用定义法去求这里的高阶导数,貌似不合适,如果只是求个2阶导数,3阶导数似乎可以硬着头皮算。

  看到n次导数,想到了莱布尼兹的高阶求导公式,但是那个好像只能用于连续函数的求导,而且求导公式只能对一个函数式子求导。

  然而我们的第一步,就是将一个分段函数用一个表达式子来表示,这样的话就满足用求导公式这种方法的使用条件了。

  分段函数一般给大家的第一印象就是不连续(这是偏见啊!)

  分段函数并不是不连续,只是有的时候没办法用一个式子去表达自己的函数关系,但是有的时候级数是可以的,这就是这里我们采用级数的方法的原因(题中x=0时sinx/x是没有定义的,但是级数就没有这顾虑,因为级数的x都是在分子上的。)

  接下来继续答题,我们已将分段函数用一个式子表示了,下面有两种做法,第一种:将所给式子求n次导数后,将x=0代入得到答案。这是可以的,但是这种莽夫的做法。我们一般用第二种更高级的方法。(麦克劳林级数)



  这是什么操作?



  然后我们知道分段函数可以有两种表示方式了



  然后看下面一种致命错误:



  貌似没毛病?

  但是式子①中左边式子中只有x的偶次数项,而右边既有x的偶次数项也有x的奇次数项,当n=3时,左右两边的x的次数明显不等。

  那么当n时奇数的时候,为了保证左右两边x的指数相等,f(x)在0处的n阶导必为0;那么右边的式子就只剩下x的偶数次项了。



  有人会问,为什么这里②式中的分子里的n不换成2k?

  因为这个级数的所有项都是满足n=2k的,你把n换成2k也对,但这样你求的就是f(x)在0的2k次导数,而我们需要的时n次导,这只是一个表示方式的问题,其表示的内容都是一样的。

  所以得到最后答案



  最后补充:

  对于求高阶导数,尤其是n次导数

  1.莱布尼兹公式一般用于所给的f(x)是一个表达式的时候

  2.而级数展开的方法是特别针对分段函数在分段点的高阶导数的

  3.至于麦克劳林级数展开均可以和上面2个情况结合起来

  一般用于求f(x)在x=0的高阶导数的情况。不管是分段函数还是一个表达式表示的函数,都可以用麦克劳林级数,起的是一个化简计算的作用。

  (实习小编:咕咚)

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