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考研数学:令人头大的相似、合同、等价

  摘要:考研数学里关于矩阵的相似、合同、等价的关系有时令大家头晕脑胀,就需要大家对它们的性质、定义要更加清楚,得分才不难。接下来一起看看三者的纠缠吧。

  关于矩阵的相似、合同、等价的关系

  总结起来就是一句话

  相似必合同,合同必等价

  (反之,则不一定)

  ...........

  背好这一句话基本可以应付70%的填空选择,至于剩下那30%,则需要对各自的性质、定义以及判别的条件有充分的了解。

  分割线卡通

  一、等价的定义

  两个SxN矩阵A,B等价的充要条件为:

  存在可逆的s阶矩阵p与可逆的n阶矩阵Q,使得B=PAQ

  矩阵A与B等价必须具备的两个条件

  (1)矩阵A与B必为同型矩阵(不要求是方阵)

  (2)存在s阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q,使B=PAQ

  矩阵等价的性质

  (1)反身性:即A~=A

  (2)对称性:若A~=B,则B~=A.

  (3)传递性:若A~=B,B~=C,则A~=C.

  (4)A等价于B的充要条件是r(A)=r(B)

  (5)设A为m*n矩阵,r(A)=r,则A等价于,即存在m阶可逆矩阵P,n阶可逆矩阵Q,使PAQ=

  二、合同的定义

  设A,B均为n阶方阵,若存在n阶可逆矩阵p,使得P^TAP=B,

  则称矩阵A、B为合同矩阵

  矩阵A与B合同必须同时具备的两个条件

  (1)矩阵A与B不仅为同型矩阵而且是方阵.

  (2)存在n阶矩阵P:P^TAP=B

  矩阵合同的性质

  (1)反身性:任意矩阵A都与自身合同.

  (2)对称性:如果B与A合同,那么A也与B合同.

  (3)传递性:如果B与A合同,C又与B合同,那么C与A合同.

  (4)合同的两矩阵有相同的二次型标准型.

  (5)任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵

  (6)合同矩阵的秩相等

  三、相似的定义

  设A,B均为n阶方阵,若存在n阶可逆矩阵P,使P^-1AP=B,则称矩阵A与B为相似矩阵(若n阶可逆矩阵P为正交阵,则称A与B为正交相似矩阵).

  矩阵A与B相似,必须同时具备两个条件

  (1)矩阵A与B不仅为同型矩阵,而且是方阵

  (2)存在n阶可逆矩阵P,使得P^-1AP=B

  矩阵相似的性质

  (1)反身性:即A~A

  (2)对称性:若A~B,则B~A.

  (3)传递性:若A~B,B~C,则A~C.

  (4)若矩阵A、B相似,则r(A)=r(B)

  (5)若矩阵A、B相似,则KA~KB

  (6)若矩阵A、B相似,则A^m~B^m

  (7)若矩阵A、B相似,f(x)是一个多项式,则f(A)~f(B)

  注:

  (1)与单位矩阵相似的n阶矩阵只有单位阵E本身,与数量矩阵kE相似的n阶方阵只有数量阵kE本身。

  (2)有相同特征多项式的矩阵不一定相似。

  这里小编给大家整理成了表格的形式



  关于相似必合同,合同必等价的关系证明


  相似必等价,等价未必相似

  证明:



  那么在什么情况下,等价可以推出相似呢?

  推论:

  对于n阶方阵A,B,若存在n阶可逆矩阵P,Q使PAQ=B,(A与B等价),且PQ=E(E为n阶单位矩阵),则A与B相似.

  这个大家就自行证明吧!

  合同必等价,等价未必合同

  证明:



  什么时候等价矩阵是合同的?

  ?只有当等价矩阵的正惯性指数相同时等价矩阵是合同矩阵

  相似必合同,合同未必相似

  这里相似必合同有一个条件:

  例如A与B相似,则存在可逆矩阵P使B=P^-1BP,如果P的逆矩阵与P的转置矩阵不相等,则相似矩阵不是合同矩阵

  所以:正交相似矩阵必为合同矩阵,正交合同矩阵未必是相似矩阵

  证明:



  以上,就是对相似合同等价关系的总结了,掌握这些,应付考试,不在话下!

  (实习小编:咕咚)

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