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考研数学积分的巧妙解决办法

  摘要:历年考研数学对积分部分考查综合性强,是考研数学考查的重中之重,所占比重最大。帮帮梳理了不定积分、定积分及二重积分的基本计算思路及方法,目的是使知识系统化,方便大家更有条理地复习。

  一、不定积分

  不定积分的计算是整个积分运算的基础,定积分、重积分的计算都是依赖于此。因此掌握不定积分的计算方法和思路非常重要。

  不定积分计算的根本是最基本的积分公式,我们将这些公式分为两种,一种是基本初等函数的积分公式,一种是在计算积分的过程中得到的一些公式,例如:



  这些公式在今后的计算中经常用到,所以也总结在基本积分公式中,需要同学们记忆并熟练应用。在基本公式的基础之上,掌握常见的积分法即可正确解题,需要清楚的是,不管是何种积分方法,最终都是转化为用基本积分公式解题。

  常见的积分法:第一类换元积分,又称为凑微分法,用来解决被积函数中同时存在原函数与导函数的情况,基本思想是



  第二类换元积分是与第一类换元法相反的思路,在计算过程中应用得很频繁,基本思想是



  分部积分法主要解决两类不同类型的函数的乘积形式的积分,尤其是含有反三角函数、对数函数时的积分,基本思想是



  关键点是u、v的选取。

  常见的基本题型包括:有理函数的积分;可化为有理函数的积分(包括:三角有理式、指数有理式);根式的处理;分部积分法的使用等。

  二、定积分

  定积分的计算包含两方面:一、基本思路是牛莱公式,利用不定积分的解题方法来计算;二、利用对称区间及函数的基本性质来解题,主要是运用函数的奇偶性。

  1、利用不定积分的计算方法

  1)换元法



  2)分部积分法



  2、对称区间上函数定积分的计算

  1)利用奇偶性



  2)被积函数本身无奇偶性,直接计算积分又难算时考虑变量代换,令x=-u。



  三、二重积分

  计算二重积分的基本思路是将其化作累次积分(也即两次定积分),要把二重积分化为累次积分,有两个主要的方式:一是直接使用直角坐标,二是使用极坐标。这是我们计算二重积分的两个主要的武器。

  首先,对直角坐标来说,主要考点有两个:一是积分次序的选择,基本原则有两个:一是看区域,选择的积分次序一定要便于定限,说得更具体一点,也就是要尽量避免分类讨论;二是看函数,要尽量使第一步的积分简单,选择积分次序的最终目的肯定是希望是积分尽可能地好算一些,实践表明,大多数时候,只要让二重积分第一步的积分尽可能简单,那整个积分过程也会比较简洁,所以我们在拿到一个二重积分之后,可以根据它的被积函数考虑一下第一步把哪个变量看成常数更有利于计算,从而确定积分次序。二是定限,完成定限之后,二重积分就被化为了两次定积分,就可以直接计算了。



  以上是我们计算二重积分的主体思路,在此基础之上,我们还可以利用对称性,它在二重积分的计算中虽然属于辅助性的技能,但如果恰当使用的话,还是可以明显地简化计算。

  二重积分中的对称性分为两种:一是奇偶性,二是轮换对称性。一般来说,对称性应该使用在拿到一个二重积分之后的第一步,只要积分区域关于某坐标轴是对称的,就要先检验被积函数是否具有相应的对称性,尤其要注意有没有奇函数,以尽可能地简化计算。

  (实习小编:咕咚)

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