2.3 点数的表示和运算

2.3.2 浮点数的加减运算

　　由于浮点数的运算较定点数的运算要复杂，为了简单直观，本节仅讨论规格化浮点数的加减运算问题，其中尾数的基数r=2。设两个浮点数分别为：

　　下面基于这两个浮点数来描述浮点数加减运算的过程。
　　（1）对阶。对阶的目的是使两操作数A和B的阶码相等，以提供尾数相加减的可能性。阶码的比较是通过两阶码的减法来实现的，统一取大的阶码；小阶码的尾数按两阶码的差值决定右移的数量。首先应求出两数阶码E_A和E_B之差，即ΔE=E_A-E_B。若ΔE =0，表示两数阶码相等，即EA=EB；若ΔE＞0，表示E_A＞E_B；若ΔE＜0，表示E_A＜E_B。
　　当E_A≠E_B时，要通过尾数的移位来改变E_A或E_B，使E_A=E_B。对阶的规则是：小阶向大阶看齐。即阶码小的数的尾数右移，每右移一位，阶码加1。
　　（2）尾数求和运算。在完成对阶操作后，就可进行尾数求和运算了，无论是加法还是减法运算，都可以转换为加法操作，其操作的方法与定点数加法一样。
　　（3）尾数规格化。尾数加减运算之后得到的数可能不是规格化数，必须进行规格化操作。设尾数用双符号位补码表示，经过加减运算之后，可能出现以下6种情况，即：
　　① 00.1 x x… x
　　② 11.0 x x… x
　　③ 00.0 x x… x
　　④ 11.1 x x… x
　　⑤ 01.x x x… x
　　⑥ 10.x x x… x
　　第①和②种情况，符合规格化数的定义，已是规格化数。
　　第③和④种情况不是规格化数，需要使尾数左移以实现规格化，这个过程称为左规。尾数每左移一位，阶码相应减1，左规可以进多，次行直至成为规格化数为止。
　　第⑤和⑥种情况在定点加减运算中称为溢出；但在浮点加减运算中，只表明此时尾数的绝对值大于1，而并非真正的溢出。这种情况应将尾数右移以实现规格化。这个过程称为右规。尾数每右移一位，阶码相应加1。右规最多只有一次。
　　（4）尾数的舍入处理。由于受到硬件的限制，在对阶和右规处理之后有可能将尾数的低位丢失，这会引起一些误差。为了缩小误差，就要进行舍入处理。假定经过运算后的数共有p+q位，现仅允许保留前p位。舍入方法有许多种，常见的舍入方法如下。
　　恒舍（切断）：这是一种最容易实现的舍入方法，无论多余部分q位为何代码，一律舍去，保留部分的p位不做任何改变，即无条件地丢掉正常尾数最低位之后的全部数值。
　　冯•诺依曼舍入法：这种舍入法又称为恒置1法，即不论多余部分q位为何代码，都保留部分p位的最低位置1。
　　下舍上入法：下舍上入就是0舍1入，相当于十进制中的四舍五入。用将要舍去的q位的最高位作为判断标志，以决定保留部分是否加1。如该位为0，则舍去整个q位（相当于恒舍）；如该位为1，则在保留的p位的最低位上加1。
　　（5）溢出处理。浮点数的溢出是以其阶码溢出表现出来的，若阶码正常，加减运算正常结束。若阶码下溢，则置运算结果为机器0；若上溢，则置溢出标志。