考研论坛雷西儿：简评2011年考研数学真题

　　解答题：

　　15、简单题。求极限的典型题目之一，1的无穷次方，用取对数或利用e形式的重要极限都可解决，考前必练熟的题型之一。我习惯的做法是括号里面加个1减个1，然后1加上的那部分弄个倒数乘到外面来，就变成一个e的多少多少次方类型的极限，答案我算得是e^（-1/2）。

　　16、简单题。求二元函数的二阶偏导，也是典型的题目类型，无非是求二次偏导的时候，要注意链式法则不要丢了（即第一步求出来的一阶偏导，也还是个二元函数），计算量中等，但需仔细，避免无谓错误。我算的答案是，f'1+f''11+f''12。

　　17、中等题。判断karctanx-x=0的实根数目，显然此题答案应与k的取值有关。如果对函数图形熟悉的，可画图辅助思路，即使不熟悉也关系不大，还是用导数的常用方法。设f(x)为要讨论的函数，求导，驻点即为k/(1+x^2)-1=0的点，可以看出要让k=1+x^2，当k<1时是不可能的，因为x^2恒大于等于0，故k<1时f'保持同号，即保持单调性，那么至多有一个零点，而不难发现x=0总是该题设函数的零点，故k<1时有一个零点；当k>1时，可能的驻点有两个，即让k=1+x^2成立的合适的x（根据对称性也可判断是两个），然后进一步可判断出，在这种情况下，f(x)的单调性会发生两次变化，一共有三个零点。

　　18、难题。涉及不等式和夹逼法则的证明题，延续了去年的风格，很意外，本来还以为会恢复中值定理的老题型呢。第一问不难，尤其右边的不等式，直接用ln(1+x)<x的结论即可，左边的不等式稍复杂点，我的做法还是用相对应的不等式，即把1/(n+1）看成某个在（0,1）间的x，然后代入不等式，变形后设成一个f(x)来讨论他的正负性，我化过来是证明x<ln1/(1-x)，大家帮忙看下有没有问题。第二问个人感觉比较有难度，证明数列收敛性，那只有两个办法，要么夹逼原则，要么单调有界，我先考虑了下夹逼原理，如果把an里的每个1/n都用ln(1+1/n)代换的话，可以得到一系列ln的和，但这个式子还是看不出什么突破点；于是考虑单调有界，由于an是连加的形式，先尝试计算a(n+1)-an，立即有所发现，其结果就是经过两步变形就是赤裸裸的1/(n+1)-ln(1+1/n)，套用第一问结论（不等式左边），此式子<0，故an递减。单调性证明后就是有界性了，因为是要证有下界，必然是把1/n换成更下的来考虑，这时就可以用我前面说的，把每个1/n都用ln(1+1/n)代换了（第一问不等式右边），得an>ln（1+1/1）（1+1/2）（1+1/3）……（1+1/n）/n=ln[2/1*3/2*4/3……*（n+1)/n]/n=ln(n+1)/n>0，得证。

　　19、难题。一个抽象函数的二重积分问题，个人认为可以竞逐今年度的最难考题，被积函数中的f''xy让我想到可能要对二重积分用分部积分来做，因为这样可以两次把偏导数拿进去，分部出来的结果就相当于回到原来的f，再结合给你的条件，就可以把最后结果得出来。这道题目我暂时的解答过程也比较乱，还需要仔细斟酌一下，目前算出来答案就是a，本来是a加另外一部分，但发现另一部分是0，故结果是a。对这么一道重量级的题目，我给予特别待遇，上图。

　　20、中等偏简单题。向量组的知识点相关，给了两个都是三个向量构成的向量组，其中一个完全已知，另一个有未知参数a，但说a不能被b表示是个很强的暗示，因为经过行变换可发现a是满秩的向量组，又大家都是三维的，所以如果b也是满秩的，那把a里面任意一个拿进来，和b放在一起，4个三维向量必线性相关的，即a里面任意一个都可以被b表示，从而a全部可被b表示，这样就推出矛盾了，从而只有一种可能——b不满秩，迅速算出a=5。第二问可这样，既然让你把b用a表示，说明b可以被a表示，不放设b=Aa，那么要求的A就是矩阵b乘个a的逆了，算出来后，搞定。

　　21、中等题。特征值特征向量相关。有没有发现，今年的线代题目呈现出了典型特点，即和往年很多次的出题套路相同，那就好办了，首先根据已知条件，要看出-1和1就是A的两个特征值，这个还是需要一定眼力的（这也是此题不能被归为简单的送分题的原因之一），其次说了A的秩是2，即还有个特征值是0，好，那三个特征值就出来了。剩下的两个特征值，-1的和1的，就都是条件给的那两个列向量，还剩一个0的特征向量，怎么找？这里可能会卡一部分同学，别忘了，实对称矩阵！又是不同的特征值，对应的特征向量有个隐含条件，相互正交（此题不能被归为简单的送分题的原因之二），想到这个，第三个特征向量迎刃而解。第一问解决后，第二问只是a piece of cake。

　　22、中等题偏简单题。概率典型题，求分布，求数字特征。这道题的思路应该说来算简单，但三个问，计算量不小，故还是归为中等题。首先是根据已知的X和Y的分布，要求(X, Y)的联合分布，且是离散型的，故是求分布律的一个表。为方便分析，可先把表画出，填满各个空即答案。注意一个补充条件，说X^2=Y^2的概率是1，把这个事件具体分析，有三种可能：（X=0, Y=0）、（X=1, Y=1）、（X=1, Y=-1），设其概率分别为a、b、c，那么有a+b+c=1，好，三个未知数，有一个方程了，还要再找两个，别忘了其它没用到的条件，把表上另外的几个空，都可以用已知的边缘概率（比如X的1/3，2/3）和a、b、c组合出来，然后再考虑另外一个边缘概率（比如Y的1/3、1/3、1/3），这样即可得到另外两个用a、b、c表示的方程，解三个未知数，第一问解决。有了第一问的结果，做第二问无非就是分析一个具体问题，辨别清楚即可。相应的第三问也没难度了，按相关系数定义求出。

　　23、中等题。概率最后一题也回到了往年的典型路子上，求最大似然估计，不过稍微有点变化，一般我们练习中都是求均值的，这里是要求方差的。还是写出最大似然函数，求导数，令其等于零即可。第二问求数字特征，E不难计算，求D的时候还是要用到一定技巧，要用到卡方分布（即第六章里有S^2在里面那个统计量，服从自由度n-1的卡方分布），这一个考点若放在以前的话算难的，但09年时最后一道题考到过了，认真做了真题的人应该没有多大障碍。

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